P3054
We have
\begin{equation}
\begin{split}
\Vert x + y \Vert^2
& = \left( \sqrt{\langle x + y, x + y \rangle} \right)^2 \\
& = \langle x + y, x + y \rangle \\
& = \langle x, x \rangle + 2 \langle x, y \rangle + \langle y, y \rangle \\
& = \Vert x \Vert^2 + 2 \langle x, y \rangle + \Vert y \Vert^2
\end{split}
\end{equation}
and
\begin{equation}
\begin{split}
\Vert x - y \Vert^2
& = \left( \sqrt{\langle x - y, x - y \rangle} \right)^2 \\
& = \langle x - y, x - y \rangle \\
& = \langle x, x \rangle - 2 \langle x, y \rangle + \langle y, y \rangle \\
& = \Vert x \Vert^2 - 2 \langle x, y \rangle + \Vert y \Vert^2
\end{split}
\end{equation}
Adding these equations together, we then conclude
\begin{equation}
\begin{split}
\Vert x + y \Vert^2 + \Vert x - y \Vert^2
& = \Vert x \Vert^2 + 2 \langle x, y \rangle + \Vert y \Vert^2 + \Vert x \Vert^2 - 2 \langle x, y \rangle + \Vert y \Vert^2 \\
& = 2 \Vert x \Vert^2 + 2 \langle x, y \rangle + 2 \Vert y \Vert^2 - 2 \langle x, y \rangle \\
& = 2 \Vert x \Vert^2 + 2 \Vert y \Vert^2
\end{split}
\end{equation}
$\square$